PRODUTOS NOTÁVEIS

Produtos notáveis, como o próprio nome já diz, significa produto (multiplicação) notáveis (que se destacam). Eles são as multiplicações mais famosas da matemática, ou seja, são realmente muito notáveis!

Utilizando os produtos notáveis, certamente aceleraremos o cálculo, permitindo o progresso em temas posteriores da matemática.

1.    O quadrado da soma de dois termos
Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento.

(a + b)² = (a + b) . (a + b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

“O primeiro termo elevado ao quadrado mais o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”
Exemplos :

(5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²

 (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²
2.    O quadrado da diferença de dois termos
Seguindo o critério do item anterior, temos:

(a – b)² = (a – b) . (a – b)

Pela  propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

“O primeiro termo elevado ao quadrado menos o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”


Exemplos:


3. O produto da soma pela diferença de dois termos
Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados.

“O quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.”

Exemplos

• (4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)² – (3d)² = 16c² – 9d²
• (x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)² – y² = x²/4 – y²
• (m + n).(m – n) = m² – n²

4. O cubo da soma de dois termos
Consideremos o caso a seguir:

(a + b)³ = (a + b).(a + b)² → potência de mesma base.

(a + b).(a² + 2ab + b²) → (a + b)²

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

   (2x + 3)³

1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³
2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 3 = 36x²
3º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3 * 2x * (3)² = 54x
4º passo: elevar o segundo termo ao cubo → (3)³ = 27
5º passo: somar todos os resultados → 8x³ + 36x² + 54x + 27
Exemplos:

• (2x + 2y)³ = (2x)³ + 3.(2x)².(2y) + 3.(2x).(2y)² + (2y)³ = 8x³ + 24x²y + 24xy² + 8y³
• (w + 3z)³ = w³ + 3.(w²).(3z) + 3.w.(3z)² + (3z)³ = w³ + 9w²z + 27wz² + 27z³
• (m + n)³ = m³ + 3m²n + 3mn² + n³

5. O cubo da diferença de dois termos
Acompanhem o caso seguinte:

(a – b)³ = (a – b).(a – b)² → potência de mesma base.

 (a – b).(a² – 2ab + b²) → (a – b)²

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

(2x – 4)³

1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³
2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 . (2x)² . 4 = 48x²
3º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3. 2x . (4)² = 96x
4º passo: elevar o segundo termo ao cubo → (4)³ = 64
5º passo: somar todos os resultados → 8x³ – 48x² + 96x – 64
Exemplos

• (2 – y)³ = 2³ – 3.(2²).y + 3.2.y² – y³ = 8 – 12y + 6y² – y³ ou y³– 6y²  +  12y – 8
• (2w – z)³ = (2w)³ – 3.(2w)².z + 3.(2w).z² – z³ = 8w³ – 12w²z + 6wz² – z³
• (c – d)³ = c³ – 3c²d + 3cd² – d³